集合-位相試験問題再試験の解答、誤答、迷答例江田

1. (1) f : X → Y, A, B ⊂ X のとき f[A ∪ B] = f[A] ∪ f[B] x ∈ f[A ∪ B] とする。すると x = f(y) となる y ∈ A ∪ B となる y が存在する。 y ∈ A

または y ∈ B である。どちらの場合も y ∈ A ∪ B だから x ∈ f[A ∪ B] が成立する。逆に x ∈ f[A] ∪ f[B] とする。すると x = f(y) となる y ∈ A となる y が存在するか x = f(y′) となる y′ ∈ B が存在する。よって x = f(z) となる z ∈ A ∪ B が存在し、 x ∈ f[A ∪ B] が成立する。

つぎのようなのも良い例です。

一般に C ⊂ D ならば f[C] ⊂ f[D] が成立する。よって f[A] ∪ f[B] ⊂ f[A ∪ B] が成立する。

そして、上記の f[A ∪ B] ⊂ f[A] ∪ f[B] の証明をする。

証明になっていない例。

f[A ∪ B] = {y : y ∈ f[A ∪ B]} = {y : y ∈ f[A] ∪ f[B]} = f[A] ∪ f[B]

これが証明であると、同じやり方で f[A ∩ B] = {y : y ∈ f[A ∩ B]} = {y : y ∈ f[A] ∩ f[B]} = f[A] ∩ f[B] の証明もできてしまいます。 (2),(5),(6) は誤りですから証明ができるはずがありません。 (6) は sin x = 1/2 が解けなくて間違っている人もいました、笑ってよいのか悲しんで良いのか？ (2),(5) の証明をしてしまった人は論理性に明確な欠陥があります、自分でチェックして下さい。

(2) の証明が出来てしまっている人が極めて多い理由がよくわからないのですが教科書にかいてあることを記憶しているせいだと思います。何度もいっていることですが、記憶能力と無関係な力、論理性をつけるための授業をしているつもりですので教科書に書いてあることを理解しようとして下さい、そして忘れて下さい。そのとき残るものを身につけようとしているのです。

(2) f : X → Y, g : Y → X について g(f(x)) = x がすべての x ∈ X について成立すれば、 f は全射である。

反例は (3) が正しいのですから f が単射でかつ全射でないものを与えることになりますが、省略します。しかし、どこで証明ができないか？気づくのかということについての例を書きます。

y ∈ Y をとる。 f(x) = y となる x を見つけたいのだけれど ... ともかく g があるから g(y) を考えるか。ここで適当なイメージの図を描いておく。 f(g(y)) = y なら x として g(y) をとればいいのだけれど... それは条件にないから... 他に与えられたものがないのだから証明でいないんじゃない？という風にして反例をつくる作業の方に気持ちを向ける。

(5) f : X → Y, A, B ⊂ X のとき f[A \ B] = f[A] \ f[B] である。

この証明が出来てしまっている人の間違いはほぼ f[A ∩ B] = f[A] ∩ f[B] の証明もできてしまう間違いと同じです。

反例として、次のものがありました。正確には本人が反例であるといっているものですが。 f(x) = x^{2} + 1, A = \{4\}, B = \{2\} とする。 f[A \ B] = 5, f[A] \ f[B] = \frac{17}{5} というのが今回の第一傑作でしょう。これを解明するのに時間がかかりました。まず、大学では割算をしゃれて A \ B と書き、 f(x) もカッコ良く f[x] と書くと考えます、そして {a} と a を同一視します。これで OK です。でも試験中に黒板に A \ B に書いた気がしますが自分の頭を動かすのに忙しかったのでしょうね。

2. 三角不等式の証明がまがりなりにできている人（何故かが大体わかっているということが答案から判断できる人）が４、５人いました。

m!|(a − b) かつ m!|(b − c) ならば m!|(a − c) である。よって max{m : m!|(a − b)} と max{m : m!|(b − c)} の小さい方を n とする。すると n!|(a − c) であるから d(a, c) ≤ 1/n ≤ d(a, b) + d(b, c) である。

以下は省略。

以下に集合と論理に関する一般的注意を書きます。

集合および論理に関するいくつかの注意

1. 集合の包含関係と要素と集合の従属関係の違いがない人が多い。空集合 ∅ と空集合のみを要素とする集合 {∅} は等しくない。前者の要素の個数は 0 であり後者は 1。また集合のなかには集合の集まりである集合や写像の集まりである集合やそれらの和集合など色々存在する。また、直積集合を使って関係、とくに２項関係を数理的対象として明確にとらえることが可能になります。けれども、集合の包含関係と要素と集合の従属関係の違いがわからなければ、明確に捉えたはずの色々な概念が混同されてわけがわからなくなります。

2. 論理的に表記することのできない人が多い。また命題と対象（とくに集合）の区別がない人が多い。その結果「同値」と「等しい」の区別がない。日常語の「と」「または」を論理における「論理積」「論理和」に直結させてはいけない。「x = 0 または 1 」という表現の「または」は論理式における「または」とはすこし隔たりがあり「x = 0 または x = 1」というほうが論理式に直結する。また、「解は x = 0 と x = 1 です」などという表現を短絡的に論理式にすればたちまち矛盾してしまいます。今回の試験でも、「x ∈ A または x ∈ B」から「x ∈ A また x ∈ B」になった後、結局「x ∈ A ∩ B」がいえてしまう人がいました。例えば、「わたしは Windows と FreeBSD を使います」というのは「わたしはいつも Windows と、同時に FreeBSD も使います」という意味とも「わたしはあるときは Windows を使い、またあるときは FreeBSD を使います」という意味ともとれます。（後者は「または」に近い感じです。）ですから、日常言語から離れ、論理的に表記し推論する訓練をしてください。（ただし、日常生活をするときには通常の非論理的言語を駆使して下さい。友人を失い、ラーメン屋のおばさんに嫌われます。）明確な表記をできない人はすこしでも概念が複雑化すると、それらの対象について考えたり、推論したりすることが出来なくなります。

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}, A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B},
∀x(x ∈ A ∪ B ↔ x ∈ A ∨ x ∈ B), ∀x(x ∈ A ∩ B ↔ x ∈ A ∧ x ∈ B)

上記は内容的に同じことを上は集合の等式で、下は論理式で表現しています。通常 ∀x を省略することも多いのです。 ∃x は決して省略されませんから意味が確定しないときは ∀x∀y ⋯ が省略されているものとして解釈します。

3. 証明をすることの出来ない人が多い。証明は「お払い」ではありません。内容を理解しようとせず形だけ整えようとするのは本末転倒であり、少し難しい問題なら結局正しい証明に到達しません。よく、逆も同様と書いた証明をみることがありますが、これは証明ではありません。証明の筋をいっているだけで自分で確認しなければ証明したことにならないのです。その結果、今度の試験でも間違っていることが堂々と何人もの人の答案で証明されてしまっているのです。つまり、考えていないか、混乱を起こしているのです。あることが正しいということを自分とそして他人が確認できる手段が証明です。まず、易しい事実についてこのことを実行してみて下さい。そして、本当に成立するかわかり難いことに遭遇したときが正念場です。例えばピタゴラスの定理の証明を書いてみて下さい。これは皆さんが成立することを確信している場合ですが、どこが難しいところか指摘してごらんなさい。証明の当たり前のところと、難しさを含んでいるところの区別をするようになると証明するということもわかってくるはずです。

証明を書くということに関連することですが、主語があり述語のある文章をいくつか連ね、脈絡のある文を書く練習をしてください。これは上記の論理的に表記し推論する訓練とも関連します。その際、自分の書いている言葉の一つ一つを自分がどのような意味で書いているのか確認して下さい。